请严格证明：

$$(1 + \frac{1}{100})^{100} < (1 + \frac{1}{1000})^{1000} $$

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3 条评论

  • @ 2025-7-10 0:21:02
    已修改

    认真回答下，严格的证明需要用到高中知识。只要证明

    f(x)=(1+1x)xf(x) = (1+\frac{1}{x})^x

    这个函数是单调递增的即可。 看似是个超越函数，无法证明，但是可以用对数来简化计算。

    令

    g(x)=ln⁡f(x)=x⋅ln⁡(1+1x)g(x) = \ln f(x) = x \cdot \ln (1+\frac{1}{x})

    此时 g(x)g(x) 和 f(x)f(x) 的单调性相同，我们对 g(x)g(x) 求导。

    g′(x)=ln⁡(1+1x)−1x+1>0g'(x) = \ln(1+\frac{1}{x}) - \frac{1}{x+1} \gt 0

    关于上式，是因为

    ln⁡(1+x)≥xx+1\ln(1+x) \ge \frac{x}{x+1}

    当 x=0x=0 时等号成立。 这是高中（可能是高中，反正大学也用）经常用的放缩，证明写在下面。

    所以 g(x)g(x) 单调增，同理 f(x)f(x) 单调增，所以 f(100)<f(1000)f(100) \lt f(1000)。

    补下证明： ln⁡(1+x)≥xx+1\ln(1+x) \ge \frac{x}{x+1}

    令

    f(x)=ln⁡(1+x)−xx+1f(x) = \ln(1+x) - \frac{x}{x+1}

    求导得

    f′(x)=1x+1−1(x+1)2f'(x) = \frac{1}{x+1} - \frac{1}{(x+1)^2}

    容易看出 f′(x)f'(x) 在 0<1x+1≤10 < \frac{1}{x+1} \le 1 时 f′(x)≥0f'(x) \ge 0，在 1x+1>1\frac{1}{x+1} > 1 时 f′(x)<0f'(x) < 0，但是 x≥0x \ge 0，所以 f′(x)≥0f'(x) \ge 0

    所以 f(x)f(x) 单调递增，有 f(x)≥f(0)=0f(x) \ge f(0) = 0

    故

    ln⁡(1+x)≥xx+1\ln(1+x) \ge \frac{x}{x+1}

    拓展： 当 xx 趋近于无穷大时，(1+1x)x=e(1+\frac{1}{x})^x = e，写作

    lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infin} (1+\frac{1}{x})^x = e

    这是高等数学中一个重要的极限。

    证明如下：

    等价于证明

    lim⁡x→∞x⋅ln⁡(1+1x)=1\lim_{x \to \infin} x \cdot \ln(1+\frac{1}{x})=1

    用 t=1xt = \frac{1}{x} 换元

    左式=lim⁡t→0ln⁡(1+t)t\text{左式} = \lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}

    洛必达

    左式=lim⁡t→011+t=1\text{左式} = \lim_{t \to 0} \frac{1}{1+t} = 1

    所以

    lim⁡x→∞(1+1x)x=e\lim_{x \to \infin} (1+\frac{1}{x})^x = e
  • @ 2025-7-9 22:23:58

    够严格么

  • @ 2025-7-9 17:20:13
    已修改
    $$(1 + \frac{1}{100})^{100} < (1 + \frac{1}{1000})^{1000} $$

    首先，有

    $$\frac{101^{100}}{100^{100}} < \frac{1001^{1000}}{1000^{1000}} $$

    接着，可以得到

    $$101^{100} \times 1000^{1000} < 100^{100} \times 1001^{1000} $$

    然后，然后就不会严格证明了……

    • @ 2025-7-9 17:34:52
      $$101^{100} \times 1000^{1000} \times 10^{100} < 100^{100} \times 1001^{1000} \times 10^{100} $$$$1010^{100} \times 1000^{1000} \times 1000^{900} < 1000^{100} \times 1001^{1000} \times 1000^{900} $$$$1010^{100} \times 1000^{1900} < 1000^{1000} \times 1001^{1000} $$1010100×1000900<100110001010^{100} \times 1000^{900} < 1001^{1000}
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